ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Маховик в виде колеса массой m = 30 кг и поперечником 60 см крутится с угловой скоростью w, изменяющейся по закону w = Аt10 , где А = 2 рад/с11. Отыскать закон движения j(t), угловое ускорение e (t), момент сил М(t) и момент количества движения L(t). Вычислить эти величины через 2 с ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ после начала движения. Считать исходный угол j(t =0) = j0 = 0 .

Решение.

Перевод в СИ

m = 30 кг 30 кг

D = 60 см 0,6 м

w = Аt10 = 2× t10рад/с11 2× t10рад/с

t = 2 c 2 c

Найти: j(t), e (t), М(t), L(t).

Если известен закон движения, то угловая скорость определяется как 1-ая производная от j(t) по времени ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ:

dj

w(t) = ¾¾ (1)

dt

Закон движения j(t) находится решением оборотной задачки, т.е. интегрированием угловой скорости по времени:

j(t) = w(t) d t + j0 (2)

При w(t) = 2 ×t10 ,с учетом j0 = 0:

j(t) = 2×t10 d t + j0 = (3)

В момент времени t = 2 с маховик оборотился на угол j ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ(t =2 с) = = 372,3 » 372 рад.

Угловое ускорение определяется как 1-ая производная от угловой скорости по времени:

dw d

e = ¾¾ = ¾¾ ( 2 ×t10) = 10 × 2× t9 (4)

dt dt

В момент времени t = 2 c угловое ускорение равно:

e ( t = 2c) = 10 × 2 × 29 = 10240 » 1,02× 104 рад/с2

Момент сил можно найти из основного закона динамики для вращательного движения твердого тела:

М ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ = I × e (5)

где I - момент инерции тела.

В нашем случае момент инерции колеса равен:

I = mR2 = mD2/4 (6)

Подставляя выражения (4) и (6) в (5) получим:

mD2 20 t9

М = ¾¾ ×¾¾

При t = 2 c

30 × ( 0,6)2 20×29

M = ¾¾ ¾¾ ¾¾ ¾¾ = 27648 » 2,77 × 104 Н×м

Момент количества движения равен:

L = I w ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ (7)

Подставляя выражения для w и (6) в (7) получим:

mD2 2 t10

L = ¾¾ ¾¾

При t = 2 c

30× (0,6)2 × 2× 210

L = ¾¾ ¾¾ ¾¾ = 5529,6 = 5,53× 103 кг м2/с

Проверим размерность приобретенных выражений.

рад с11

[j] = [А] [t11] = ¾¾¾¾ = рад;

с11

рад с9

[e] = [А] [t9] = ¾¾¾&frac ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ34; = рад/с2

с11

mD2 × A t9 кг м2 с9 кг м м

[M] = [¾¾¾¾¾¾¾¾ ] = ¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = Н м

4 11 с11 с2

кг м2 c10

[L] = [ m D2 A t10 ] = ¾¾¾¾ = кг м2 с-1

c11

Ответ ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ: j(t=2) =372рад, e(t=2с)= 1,02× 104 рад/с2, М(t) =2,77 × 104 Н м

L(t) = 5,53× 103 кг м2/с

Пример 2. Соковыжималка раскручивается до 7200 об/мин. Найти силу, действующую на кусок яблока массой 5г, при поперечнике камеры D = 24 см. Вычислить линейную скорость куска яблока. Оценить мощность соковыжималки, если наибольшие обороты достигаются за 8с. Барабан ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ представляет собой полуцилиндр, масса дна и кольца приблизительно схожа и равна 100 г. Яблоковая масса при загрузке составляет 300 г.

Решение. СИ

n = 7200 об/мин = 120 с-1

R = D/2 = 12 см = 0,12 м

m = 5 г = 5 ·10-3 кг

m1 = 100 г = 0,1 кг

m2 = 300 г = 0,3 кг

t = 8с

Найти: силу F, скорость V, мощность Р

Кусочек яблока движется по радиальный линии движения с центростремительным ускорением

а ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ = V2/ R . (1)

Сила, действующую на кусок яблока со стороны барабана, равна

F= mV2/ R .

С силой F кусочек яблока прижимается к барабану. Потому разыскиваемая сила равна

F= mV2/ R = F= mw2 R , (2)

где V = w R –линейная скорость куска яблока;

w = 2π n - угловая скорость

Проверим размерность подставляя:

кг· с-2 · м

[F] = [¾¾&frac ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ34;¾¾] = кг· м·с-2 = Н

Проведем вычисления:

Сила F = mw2 R= 5 ·10-3 ·(2 ·3,14)2 ·(120)2×0,12=5·10-3 ·4·9,86·1,44·104 ×0,12=2,84·103 Н

Линейная скорость куска яблока:

V = w R = 2π n R =2·3,14 ·120 · 0,12 =30.432 ≈ 30.4 м/с

Мощность соковыжималки можно оценить, вычислив кинетическую энергию вращающегося барабана вкупе с содержимым и разделив её на время раскручивания .

Кинетическая энергия вращения равна:

Екин = (I + I1) w2 /2

где I = m ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ2 R 2 – момент инерции яблоковой массы;

I1 = m1 R 2 / 2 + m1 R 2 момент инерции полуцилиндра, состоящего из диска и кольца.

I = 0,3· (0,25)2 = 0.0185 =1.875·10-2 кг·м2 ≈ 1.88·10-2 кг·м2

I1 =(0.05 +0.1) · (0,25)2 = 0.93675·10-2 кг·м2≈ 0.937·10-2 кг·м2

Екин= (1.88 + 0.937) ·10-2 ·(2π 120)2 / 2 = 2.82 ·10-2 · 2· (3,14)2 1.44· 104 ≈ 8.01·103 Дж.

Мощность соковыжималки:

Р = Екин / t =8.01·103 / 8 ≈ 103 Вт

Размерность приобретенных результатов проверяем аналогичным методом, описанным в примерах 1 и 2.

Ответ: сила, прижимная кусок яблока ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ к барабану F = 2,84·103 Н,

линейная скорость куска яблока:V ≈ 30.4 м/с ; мощность соковыжималки Р ≈ 103 Вт.

Пример 3. Автомобиль тянет платформу с грузом, представляющим из себя прямоугольную форму весом 250 кг. Коэффициент трения меж платформой и грузом 0,05, вес платформы 820 кг. Сила с которой тянет автомобиль платформу меняется по закону F=Аt, где ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ А=4,25[кг×м/с3] – некая неизменная. Найти: 1) момент времени t0, когда платформа начнет выскальзывать из-под груза; 2) ускорения груза а1 и платформы а2 в процессе движения.

Решение.

m1=250 кг Описанный процесс схематично изображен на рис.1.

m2=820 кг Сила, с которой машина тянет платформу, можно выразить

f=0,05 формулой F ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ=Fтр+m2a2 (1), где Fтр= m1a1 (2). Наибольшее F=4,25t значение силы трения равно Fтр.max= f m1 g (3),

______________

Отыскать

t0=? где g=9,81 м/с2 - есть ускорение свободного падения.

а1=? Используя выражения (1), (2) и (3), определим ускорение а2 и,

а2=? подставим его в явное неравенство, а2 ³ а1, показывающее

Рис. 1.

предельное значение ускорения ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, при котором груз уже скользит по платформе.

а2 = ; а1=fg; тогда .

Во время t=t0 , из чего выразим t0= .

Во время t£t0 а1=а2=

Во время t£t0 а1=fg=const, а2= .

Потому что начальные данные приведены в системе единиц СИ, то подставим в приобретенные выражения числовые значения и ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ рассчитаем требуемые неведомые.

t0=

а1=9,81×0,05=0,49 м/с2.

а2= .

Размерность приобретенных результатов проверяем аналогичным методом, описанным в примерах 1 и 2.

Ответ: 1) время, после начала движения при котором платформа начнет выскальзывать из под груза больше t0= 123,49 с; 2) ускорение груза достигнет а1= 0,49 м/с2; 3) платформа должна двигаться с ускорением больше, чем ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ а2= 0,49 м/с2.

Пример 4. С башни, высотой 20 м, горизонтально со скоростью 10 м/с из пращи брошен камень массой 400 г. Пренебрегая сопротивлением воздуха найти для момента времени 1с после начала движения кинетическую и потенциальную энергии.

Решение.

H= 20 м Запишем формулы для расчета кинетической и потенциа-

u0= 10 м/с льной энергий:

m= 400 г ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ = 0,4 кг Т = ; П = m×g×h.

t= 1 с

______________

Отыскать: В формулах не все данные известны. Нужно отыскать

Т = ?; П = ?. общую скорость движения камня через 1 с и высоту на

которой камень будет находиться через это время. Скорость движения при понижении камня по вертикали определяется выражением uy = g×t, а полная скорость движения u ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ2 = u02 + uy2, где u0 = const – неизменная скорость движения камня по горизонтали, uy – скорость равнопеременного движения камня по вертикали. Подставив приобретенные формулы в выражение для кинетической энергии, совсем получим:

Т = m ×(u02+g2 × t2) / 2.

За время t камень опустится на высоту h1 = , тогда возможная энергия камня будет равна

П ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ = m×g×(H - ).

Проведем вычисления: Т = m ×(u02+g2 × t2) / 2 = 0,4×(102 + 9,812×12) / 2 = 39,2 Дж;

П = m×g×(H - ) = 0,4×9,81× (20 – 9,81×12/2) = 59,2 Дж.

Ответ: 1) кинетическая энергия камня через секунду после начала движения равна Т = 39,2 Дж; 2) возможная энергия равна П = 59,2 Дж.

Размерность приобретенных результатов проверяем аналогичным методом, описанным в примерах 1 и 2.

Пример 5. В цилиндре под поршнем находится ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ водород массой 20 г, при температуре 250С. Водород поначалу расширился адиабатически, увеличив собственный объем в 5 раз, а потом был сжат изотермически, при этом объем газа уменьшился в 5 раз. Отыскать температуру в конце адиабатического процесса расширения и работу, совершенную газом. Изобразить процесс графически.

Решение. СИ

М = 20г 0.02 кг

T1 = 250C Т1 = 298 К

V1а/ V2а ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ = 5

V2и/ V1и = 1/5

R = 8,31 Дж/моль∙град

µ=2 ∙10-3 кг/моль

i = 5

γ = 1,4

________________________________

Найти: Т2=?; А1=?; А2=?.

Отношение температур и объемов газа, совершающего адиабатический процесс, описываются равенством:

,

где γ – отношение теплоемкостей газа при неизменном давлении и неизменном объеме. Отсюда получаем выражение для конечной температуры Т2:

.

Подставляя численные значения, получаем:

Т2 = 298∙(1/5)1,4-1 = 298∙0.525 = 156,5 К.

Работа газа ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ при адиабатическом расширении определим по формуле:

Подставляя цифровые значения в приобретенное выражение, получаем:

.

Работа газа при изотермическом процессе может быть выражена формулой:

.

Подставляя известные числовые значения, величин входящих в формулу, и выполняя арифметические операции, находим работу при изотермическом процессе:

.

Символ «минус» указывает, что при сжатии газа работа совершается над газом ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ наружными силами.

График описанного процесса представлен на рис.1.

Рис. 1.

Ответ: Температура в конце адиабатического процесса расширения Т2 = 156,5 К.

Работа, совершенная газом для точек 2,3 равна А1=8,62∙104Дж, А2=-2,08∙104Дж.

Пример 6. Найти плотность консистенции газов (60 % пропана - С3Н8,30%, бутана - С4 Н10 и 10% метана - CH4) находящихся в баллоне при температуре 27 0С и давлении ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 0.11МПа.

Решение. СИ

m1(С3Н8) = (3×12 +8×1) × 10-3 = 44×10-3кг/моль

m1/m= 0.6 - “ -

m2 (С4H10) = (4×12 + 10×1) ×10-3=56×10-3 кг/моль

m2/m =0.3 - “ -

m3 (СН4) = ( 12 + 4×1) ×10-3 = 16×10-3 кг/моль

m3/m = 0.1 - “ -

t = 270C Т = 300 К

P = 0.11 MПа 0.11× 106 Па

____________________________________

Найти: r = ?

По закону Дальтона давление консистенции газов P равно сумме парциальных давлений газов, составляющих смесь P1( C3 H8), P2(C4 H10) ,P3 (CH4) :

P ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ = P1 + P2 + P3 (1)

Для каждого газа справедливо уравнение состояния (Клапейрона -Менделеева):

Pi V = (mi /mi )RT (2)

Из выражения (2) можно выразить парциальное давление:

Pi = (mi /mi )RT/V (3)

Уравнение Клапейрона - Менделеева справедливо и для консистенции газов:

P V = (m /m)RT (4)

Плотность газа равна:

r = m/V = Pm ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ/ RT (5)

Молярную массу консистенции можно отыскать подставив (3) в (1):

P = (m1/m1)RT/V + (m2 /m2 )RT/V + (m3 /m3 )RT/V = (m/m) RT/V (6)

Из уравнения (6) молярная масса m равна:

m = (m1/m1m + m2/m2m + m3/m3m)-1 (7)

Подставляя (7) в (5) получим выражение для плотности консистенции:

r ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ = P/ RT (m1/m1m + m2/m2m + m3/m3m)

Проверим размерность получившейся формулы:

[r]=[P] /[R][T] [m-1]=Па/ (Дж моль-1К-1) К (кг/моль)-1=Па/Дж кг-1=Нм-2 кг/Нм= кг/м3

r = 0.11×106 /8.31 300 (0.6/44×10-3 + 0.3/ 56×10-3 + 0.11/6×10-3) = (0.11× 39.6 /8.31×3×) × 106-2-3 = 0.175×10 =1.75 кг/м3

Ответ: плотность консистенции газов r = 1.75 кг/м3.


chast-2-detalizirovannaya-ocenka-dostupnosti-i-kachestva-gosudarstvennihmunicipalnih-uslug-so-storoni-naseleniya.html
chast-2-elektronnaya-vizitka-maj-2013-goda-avtora-stranichki-vyacheslava-vinogradova.html
chast-2-formulirovanie-i-planirovanie-proekta-kniga-sostoit-iz-15-glav-i-predmetnogo-ukazatelya.html